Questão 27

Gabarito:

Resolução:

Façamos a análise por alternativas:

 

Letra A: Multiplicando a igualdade (A^-1)^-1 = C, sendo C matriz qualquer, por A^-1, temos:

(A^-1)^-1.A^-1 = C.A^-1, como toda matriz multiplicada pela sua inversa produz uma matriz identidade e como (A^-1)^-1 é matriz inversa de A^-1, então,

I_n = C.A^-1. Multiplicando à direita este resultado por A, I_n.A= C.A^-1.A => A = C.I_n => C = A. Esta alternativa, portanto, é verdadeira.

 

Letra B: Por propriedade de matrizes inversas e multiplicação de matrizes é fácil ver que esta alternativa é verdadeira.

 

Letra C: AXC = B, multiplicando por C^-1 à direita, temos:

AX.C.C^-1 = B.C^-1 => A.X.I_n = A.X = B.C^-1. Multiplicando este resultado por A^-1 à esquerda, temos:

A^-1.A.X = A^-1.B.C^-1 => I_n.X = X = A^-1.B.C^-1. Como as matrizes A, B e C são quaisquer e não necessariamente umas tais que a igualdade A^-1.B.C^-1 = A^-1.C^-1.B^-1 seja satisfeita, então, podemos afirmar que esta alternativa está falsa.

 

Letra D: Por propriedade de determinantes, temos, det(2AB^-1) = 2ⁿ.det(A.B^-1) = 2ⁿ.det(A).det(B^-1). Como det(B^-1) = (det(B))^-1, então:

det(2AB^-1) = 2ⁿ.det(A)/det(B). Logo, esta alternativa está verdadeira.

 

A alternativa correta é, portanto, a Letra C.