Questão 24

AFA 2017

Matemática

(AFA - 2017)

Resolva a equação z³ –1 = 0 no conjunto dos números complexos. Considerando as raízes encontradas, analise as proposições abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

( ) A equação possui três raízes de multiplicidade 1.

( ) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é $frac{3sqrt{3}}{2}$ unidades de área.

( ) Duas das raízes são conjugadas.

( ) Todas as raízes têm o mesmo módulo.

A sequência correta é

V – F – V – V

V – V – F – V

F – F – V – F

V – F – V – F

Gabarito:

V – F – V – V

Resolução:

Observemos a equação:

$z^3-1=0$ . É fácil ver que as raízes desta equação são obtidas pelas propriedades de números complexos em termos de funções circulares como seno e cosseno. Sabendo que o módulo de $z$ é 1, então,

$z=cosleft(frac{2kpi}{3} ight )+icdot senleft(frac{2kpi}{3} ight )$

Para $k=0$ : $z_0=cosleft(0 ight )+icdot senleft(0 ight )=1$
Para $k=1$ : $z_1=cosleft(frac{2cdot1cdotpi}{3} ight )+icdot senleft(frac{2cdot1cdotpi}{3} ight )=-frac{1}{2}+icdotfrac{sqrt{3}}{2}$
Para $k=2$ : $z_1=cosleft(frac{2cdot2cdotpi}{3} ight )+icdot senleft(frac{2cdot2cdotpi}{3} ight )=-frac{1}{2}-icdotfrac{sqrt{3}}{2}$

Como só são 3 raízes, podemos desenhar geometricamente as raízes desta equação:

Análise das proposições:

01. Como as 3 raízes possuem multiplicidade 1, então este é verdadeiro.

02. É fácil ver pela figura acima que o polígono criado por estas raízes é equilátero (raízes de mesmo módulo e o ângulos entre raízes é 120º, logo o polígono é um triângulo equilátero), então a área é calculada por:

$A=frac{l^2cdotsqrt{3}}{4}$ . O lado deste triângulo é facilmente calculado por

$l=sqrt{left(frac{sqrt{3}}{2}-0 ight )^2+left(frac{-1}{2}-1 ight )^2}=sqrt{frac{3}{4}+frac{9}{4}}=sqrt{frac{12}{4}}=sqrt{3}$ . Daí,

$A=frac{l^2cdotsqrt{3}}{4}=frac{left(sqrt{3} ight )^2cdotsqrt{3}}{4}=frac{3sqrt{3}}{4}$ . Logo, este item é falso.

03. É fácil ver que se conjugarmos z₁ obtemos z₂. Então este item é verdadeiro.

04. É fácil ver que os módulos são iguais a um, pois, quando colocamos números complexos como função circular (seno e cosseno), devemos fazê-lo multiplicando tudo pelo módulo. É claro, tanto por Pitágoras quanto por este fato, que os módulos das raízes são todos iguais a 1. Este item é verdadeiro.

A resposta correta é, portanto, a Letra A.

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