Questão 19

AFA 2017

Matemática

(AFA - 2017)

Considere, no triângulo ABC abaixo, os pontos P $in$ AB, Q $in$ BC, R $in$ AC e os segmentos PQ e QR paralelos, respectivamente, a AC e AB. Sabendo que BQ = 3 cm, QC = 1 cm e que a área do triângulo ABC é 8 cm², então a área do paralelogramo hachurado, em cm², é igual a

NOTA: A área do paralelogramo pode ser calcula como S = b.h, onde "b" é a base do paralelogramo (exemplo: PQ) e "h" é a altura do paralelogramo (exemplo: distância do vértice A ao segmento PQ).

Gabarito:

Resolução:

Observe que sendo QR paralelo a AB, temos que ABC e RQC são semelhantes, portanto:

$frac{[RQC]}{[ABC]}=left(frac{QC}{BC} ight )^2=left(frac{1}{4} ight )^2\\Rightarrow [RQC]=frac{[ABC]}{16}$

de maneira análoga temos que PQ sendo paralelo a AC, ABC e PBQ são semelhantes:

$frac{[PBQ]}{[ABC]}=left(frac{BQ}{BC} ight )^2=left(frac{3}{4} ight )^2\\Rightarrow [PBQ]=frac{9cdot [ABC]}{16}$

a área do paralelogramo pode então ser encontrada como:

$egin{matrix} [APQR]=&;[ABC]-[PBQ]-[RQC]\ =&;[ABC]left(1-frac{9}{16}-frac{1}{16} ight )\ =&;[ABC]frac{6}{16}\ =&;8cdotfrac{6}{16}\ =&;3 end{matrix}$

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