Questão 27

AFA 2018

Matemática

(AFA - 2018)

Considere os números A, B e C a seguir.

A = log₂₅27 . log₄5 . log₃√2

B = log_n(log_nⁿ√ⁿ√n), com "n" natural maior que 2.

C = (a/b)^logc . (b/c)^loga . (c/a)^logb , com {a, b, c} contido em R₊*.

A correta relação de ordem entre os números A, B e C é

A < B < C

B < A < C

B < C < A

C < A < B

Gabarito:

B < A < C

Resolução:

Para $A=log_{25}27cdot log_45cdot log_3sqrt{2}$ :

$log_{25}27=log_{5^2}3^3=3cdotleft(frac{1}{2} ight )cdot log_53=frac{3}{2}cdot log_53$
$log_45=log_{2^2}5=frac{1}{2}cdot log_25$
$log_3sqrt{2}=log_32^{frac{1}{2}}=frac{1}{2}cdot log_32$

Multiplicando tudo:

$A=frac{3}{8}cdot log_{5}3cdot log_25cdot log_32$ . Lembrando que $log_53=left(log_35 ight )^{-1}$ , então

$A=frac{3}{8}cdot frac{log_32}{log_{3}5}cdot log_25$ , fazendo transformação de base

$A=frac{3}{8}cdot log_52cdot log_25=frac{3}{8}cdot1=frac{3}{8}$

Para $B=log_nleft(log_nsqrt[n]{sqrt[n]{n}} ight )$ :

$sqrt[n]{n}=n^{frac{1}{n}}$
$sqrt[n]{sqrt[n]{n}}=sqrt[n]{n^{frac{1}{n}}}=left(n^{frac{1}{n}} ight )^{frac{1}{n}}=n^{frac{1}{n}cdotfrac{1}{n}}=n^{frac{1}{n^2}}$

Logo,

$B=log_nleft(log_nsqrt[n]{sqrt[n]{n}} ight )=log_nleft(log_nleft(n^{frac{1}{n^2}} ight ) ight )=log_nleft(frac{1}{n^2} ight )Rightarrow$

$Rightarrow B=log_nleft(frac{1}{n^2} ight )=log_nleft(n^{-2} ight )=-2$

Para $C=left(frac{a}{b} ight )^{logleft(c ight )}cdotleft(frac{b}{c} ight )^{logleft(a ight )}cdot left(frac{c}{a} ight )^{logleft(b ight )}$ :

$C=frac{left(a^{logleft(c ight )}cdot b^{logleft(a ight )}cdot c^{logleft(b ight )} ight )}{left(a^{logleft(b ight )}cdot b^{logleft(c ight )}cdot c^{logleft(a ight )} ight )}=frac{a^{logleft(c ight )}}{a^{logleft(b ight )}}cdotfrac{b^{logleft(a ight )}}{b^{logleft(c ight )}}cdotfrac{c^{logleft(b ight )}}{c^{logleft(a ight )}}Rightarrow$

$Rightarrow C=a^{logleft(c ight )-logleft(b ight )}cdot b^{logleft(a ight )-logleft(c ight )}cdot c^{logleft(b ight )-logleft(a ight )}$ , da propriedade de subtração de logaritmos podemos fazer:

$C=a^{logleft(frac{c}{b} ight )}cdot b^{logleft(frac{a}{c} ight )}cdot c^{logleft(frac{b}{a} ight )}$

Chamemos $a^{logleft(frac{c}{b} ight )}=x$ , $b^{logleft(frac{a}{c} ight )}=y$ e $c^{logleft(frac{b}{a} ight )}=z$ , então podemos fazer:

$logleft(frac{c}{b} ight )=log_ax=frac{logleft(x ight )}{logleft(a ight )}Rightarrow logleft(x ight )=logleft(a ight )cdot logleft(frac{c}{b} ight )$

$logleft(frac{a}{c} ight )=log_by=frac{logleft(y ight )}{logleft(b ight )}Rightarrow logleft(y ight )=logleft(b ight )cdot logleft(frac{a}{c} ight )$

$logleft(frac{b}{a} ight )=log_cz=frac{logleft(z ight )}{logleft(c ight )}Rightarrow logleft(z ight )=logleft(c ight )cdot logleft(frac{b}{a} ight )$

Como queremos $C$ e este é dado por $C=xcdot ycdot z$ , façamos a soma:

$logleft(x ight )+logleft(y ight )+logleft(z ight )=logleft(xcdot ycdot z ight )=logleft(C ight )$

Do que foi obtido acima,

$logleft(C ight )=logleft(x ight )+logleft(y ight )+logleft(z ight )Rightarrow$

$Rightarrow logleft(C ight )=logleft(a ight )cdot logleft(frac{c}{b} ight )+logleft(b ight )cdot logleft(frac{a}{c} ight )+logleft(c ight )cdot logleft(frac{b}{a} ight )Rightarrow$

$Rightarrow logleft(C ight )=logleft(a ight )cdotleft(logleft(c ight )-logleft(b ight ) ight )+logleft(b ight )cdotleft(logleft(a ight )-logleft(c ight ) ight )+logleft(c ight )cdotleft(logleft(b ight )-logleft(a ight ) ight )=0$

Logo,

$logleft(C ight )=0Rightarrow C=1$ .

Desta forma, A < B < C.

A alternativa correta é, portanto, a Letra B.

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