Questão 25

AFA 2018

Matemática

(AFA - 2018)

No plano cartesiano, os pontos P(x, y) satisfazem a equação da curva

Se F₁ e F₂ são os focos de tais que a abcissa de F₁ é menor que a abcissa de F₂, é INCORRETO afirmar que

a soma das distâncias de P a F₁ e de P a F₂ é igual a 10.

F₁ coincide com o centro da curva x² + y² + 6x – 4y = 0.

F₂ é exterior a x² + y² = 25.

o ponto de abscissa máxima de pertence à reta y = x – 8.

Gabarito:

F₁ coincide com o centro da curva x² + y² + 6x – 4y = 0.

Resolução:

A curva do enunciado é claramente uma elpise (pela definição de elipses) e é possível calcular seus parâmetros:

Centro é o ponto com coordenadas os números que subtraem $x$ e $y$ na expressão, logo, Centro é o ponto $left(1,-2 ight )$ .
Semieixo maior é $a^2=25Rightarrow a=5$ .
Semieixo menor é $b^2=9Rightarrow b=3$ .
A distância focal é $2cdot c$ , onde $c^2=a^2-b^2=25-9=16Rightarrow c=sqrt{16}=4$ , daí, $2cdot c=2cdot4=8$ .

Desta forma,

$F_1=left(-3,-2 ight )$ e $F_2=left(5,-2 ight )$ .

Vamos fazer análise por alternativas:

Letra A: As distâncias referenciadas estão representadas a seguir $dleft(PF_1 ight )+dleft(PF_2 ight )=2a=10$ . Portanto, esta alternativa está correta.

Letra B: A curva é $x^2+y^2+6x-4y=0$ . Vamos tentar transformar esta expressão em soma de quadrados:

$x^2+6x=x^2+2cdot3cdot x+left(3^2-3^2 ight )=x^2+6x+9-9=left(x+3 ight )^2-9$

$y^2-4y=y^2-2cdot2cdot y+left(2^2-2^2 ight )=y^2-4y+4-4=left(y-2 ight )^2-4$

Somando estas expressões, temos:

$x^2+y^2+6x-4y=left(x+3 ight )^2-9+left(y-2 ight )^2-4=left(x+3 ight )^2+left(y-2 ight )^2-13Rightarrow$

$Rightarrow x^2+y^2+6x-4y=left(x+3 ight )^2+left(y-2 ight )^2-13=0$

Isto representa uma circunferência com centro em (-3, 2) e quadrado do raio 13. Como $F_1=left(-3,-2 ight )$ , então esta alternativa é incorreta.

Letra C: Esta equação representa uma circunferência com centro em (0, 0) e raio igual a 5. Como $F_2=left(5,-2 ight )$ , se a distância deste referenciado foco até o centro da circunferência for maior que o raio da mesma, o foco é externo à circunferência. Daí,

$dleft(OF_2 ight )=sqrt{left(5-0 ight )^2+left(-2-0 ight )^2}=sqrt{25+4}=sqrt{29}>sqrt{25}=5$ . Logo, $F_2=left(5,-2 ight )$ é externo à circunferência e, portanto, esta alternativa está correta.

Letra D: O ponto de abscissa máxima é (6, -2) que satisfaz y = x - 8. Logo, esta alternativa é correta.

A alternativa correta é, portanto, a Letra B.

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