Questão 31

AFA 2018

Matemática

(AFA - 2018)

Considere o sólido geométrico obtido pela rotação de 360º do triângulo $ABC$ em torno da reta que passa por $C$ e é paralela ao lado $overline{AB}$ .

Sabe-se que este triângulo é isósceles, com $overline{AC} = overline{BC} = Rsqrt2 m, overline{AB} = 2R m$ (sendo $R$ uma constante real positiva), e que o volume do sólido obtido é $V = 4pisqrt3 m^3$ .

A medida de $R$ , em metros, é igual a

Gabarito:

Resolução:

O triângulo ABC é retângulo isósceles. Logo, como a mediana relativa ao lado AB mede R, segue que a medida do segmento CG, com G sendo o baricentro de ABC, é igual a (2R)/3.

Ademais a área do triângulo ABC é dada por

$S_{ABC} = left(frac{1}{2} ight )cdotleft(AC ight )cdotleft(BC ight )=frac{1}{2}cdot Rsqrt{2}cdot Rsqrt{2} = R^2$

Portanto, pelo Segundo Teorema de Pappus-Guldin, tem-se que o volume, V, do sólido gerado é

$V=2cdotpicdot CGcdot S_{ABC}Rightarrow V = frac{4pi R^3}{3}$

Em consequência, vem

$frac{4pi R^3}{3}=4pisqrt{3}Leftrightarrow R^3=3sqrt{3}Rightarrow R = sqrt{3}$ .

Questões relacionadas

Questão 18

(AFA - 2018) Constrói-se um monumento em formato de pirâmide utilizando-se blocos cúbicos: Para a formação piramidal os blocos são disp...

Ver questão

Questão 23

(AFA - 2018) Considere no plano cartesiano as retas r e s dadas pelas equações: r : 3x + 3py + p = 0 s : px + 9y – 3 = 0 com . Baseado nessas informações, mar...

Ver questão

Questão 24

(AFA - 2018) Considere no plano cartesiano a circunferência λ tangente à bissetriz dos quadrantes ímpares no ponto A (1, 1). Sabendo que a reta t : x - y + 4 = 0 tange...

Ver questão

Questão 21

(AFA - 2018) O menor dos possíveis coeficientes do termo em x8, no desenvolvimento de (2 + x2 + 3x3)10 é igual a

Ver questão