Questão 28

AFA 2018

Matemática

(AFA - 2018)

Seja $f:mathbb{R} ightarrowmathbb{R}$ uma função definida por $f(x) = left{egin{matrix} x-3, se x leq 2\ frac{x^2}{4} -x, se x> 2 end{matrix} ight.$

Analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

( ) A função $f$ é injetora.

( ) $forall x in mathbb{R}$ , a função $f$ é crescente

( ) A função $f^{-1}$ , inversa de $f$ , é dada por $f^{-1} : mathbb{R} ightarrowmathbb{R}$ , tal que $f^{-1}(x)=left{egin{matrix} x+3, se xleq -1\ sqrt{4x+4}+2, se x>-1 end{matrix} ight.$

A sequência correta é

F - V - V

V - V - V

F - V - F

V - F - F

Gabarito:

V - V - V

Resolução:

Analisando inicialmente para $xleq2$ , temos $f(x)=x-3$ , que é uma função estritamente crescente, injetora e $f(2)=-1$ .

Agora, analisando para $x>2$ , temos $f(x)=frac{x^2}{4}-x$ , que é uma função do segundo grau, um pouco mais difícil de se analisar. Vamos verificar suas raízes e seu vértice:

I) Cálculo das raízes:

$f(x)=0 ightarrow frac{x^2}{4}-x=0 ightarrow x.left (frac{x}{4}-1 ight)=0 ightarrow\ x=0 ou frac{x}{4}-1=0 ightarrow x=4$

Logo, $x=0 ou x=4$

II) Cálculo do vértice:

$x_v=-frac{b}{2a} ightarrow x_v=-left ( frac{-1}{2.frac{1}{4}} ight ) ightarrow x_v=2$ ; $y_v=-frac{Delta}{4a} ightarrow y_v=-frac{(-1)^2-4.frac{1}{4}.0}{4.frac{1}{4}} ightarrow y_v=-1$

Percebemos então que a função é contínua, já que, para $x=2$ , ambas expressões da definição da função (tanto para $xleq2$ quanto para $x>2$ ) fornecem $f(2)=-1$ .

Além disso, como a função é uma parábola com concavidade para cima, já que $a>0$ , ela é estritamente crescente para valores de $xgeq x_v$ , ou seja, para $xgeq 2$

Portanto, a função $f(x) = left{egin{matrix} x-3, se x leq 2\ frac{x^2}{4} -x, se x> 2 end{matrix} ight.$ é injetora e estritamente crescente, $forall xinmathbb{R}$ . Ou seja, $f$ é sobrejetora (admite inversa).