Questão 18

AFA 2020

Matemática

(AFA - 2020)

Considere no plano de Argand Gaus a região S formada pelos afixos P(x,y) dos números complexos z = x+yi, em que $sqrt{-1} = i$

$S = left{egin{matrix} egin{vmatrix} z-i end{vmatrix} geq 1\ egin{vmatrix} z end{vmatrix} leq 2 \ Re(z) leq 0 end{matrix} ight.$

Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa.

( ) A área de S é maior que 4,8 u.a.

( ) Se k é o elemento de S de menor argumento, então ki $in$ S

( ) Todo z pertencente a S possui seu conjugado em S

Sobre as proposições, tem-se que

apenas uma é verdadeira.

apenas duas são verdadeiras.

todas são verdadeiras.

todas são falsas.

Gabarito:

apenas uma é verdadeira.

Resolução:

Para podermos avaliar as proposições, devemos levar em consideração os seguintes fatos:

1) $egin{vmatrix} z-z_{c} end{vmatrix} = R$ representa uma circunferência centrada no afixo $z-z_{c}$ e de raio $R$ . Logo, a expressão $egin{vmatrix} z-i end{vmatrix} = egin{vmatrix} z-(0+1i) end{vmatrix} geq 1$ representa a região interior a um círculo de raio 1, incluindo a borda.

2) $egin{vmatrix} z end{vmatrix} leq 2$ representa a região interior juntamente com a borda de um círculo de raio 2, centrado em $z = 0$ .

3) $Re(z) leq 0$ representa o semiplano esquerdo, em que as abscissas são negativas independente das ordenadas.

Como as três condições devem ser satisfeitas simultaneamente, a interseção entre essas condições é representada pela área pintada na figura.

Afirmativa 1:

Área do círculo maior de raio 2 (I)

$A_{I} = pi cdot 2^{2} = 4pi [u.a.]$

Área do círculo menor de raio 1 (II)

$A_{II} = pi cdot 1^{2} = pi [u.a.]$

Área rachurada:

$A = frac{A_{I}-A_{II}}{2} = frac{3pi}{2} approx 1,5 cdot 3,14 = 4,71 < 4,8$

FALSA!

Afirmativa 2:

Complexo de menor argumento em S: $p=2cdot cisleft ( frac{pi}{2} ight )$ . $p=2i$

$pcdot i=-2$ → pertence a S

VERDADEIRA!

Afirmativa 3:

O número complexo $z=-i$ serve de contraexemplo, dado que seu conjugado, $z^{*} = i$ não pertence à região S destacada.

FALSA!

Com isso, o número de afirmativas corretas é apenas uma!

ALTERNATIVA A

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