Questão 52

AFA 2023

Matemática

(AFA - 2023)

As raízes da equação $left | 2x-3 ight | + left | x+2 ight | = 4$ são o primeiro e segundo termos de uma progressão geométrica (P.G.) decrescente.

O termo geral dessa P.G. é

$a_{n}= frac{25}{9}left ( frac{3}{5} ight )^{n}$

$a_{n}= frac{1}{9}left ( frac{5}{3} ight )^{n}$

$a_{n}= left ( frac{5}{3} ight )^{n-1}$

$a_{n}= frac{1}{9}left ( frac{3}{5} ight )^{n-1}$

Gabarito:

$a_{n}= frac{25}{9}left ( frac{3}{5} ight )^{n}$

Resolução:

O primeiro passo em uma questão com funções modulares é analisar os intervalos em que as funções internas são positivas, nesse caso, em que intervalos $2x -3 > 0$ e $x+2 >0$ .

$left{egin{matrix} 2x-3>0 ightarrow 2x>3 ightarrow x>frac{3}{2}\ \ x+2 > 0 ightarrow x> -2 end{matrix} ight.$

Depois basta analisar cada caso existente:

1°) $x < -2$ :

$left | 2x-3 ight | + left | x+2 ight | = 3-2x -x -2 = 1-3x$

$1-3x = 4 ightarrow x = 1$

Logo, não existe solução nesse caso, pois $1 <-2$ é falso

2°) $-2< x < frac{3}{2}$ :

$left | 2x-3 ight | + left | x+2 ight | = 3-2x x+2= 5 - x$

$5 - x = 4 ightarrow x = 1$

A única solução desse caso é $x = 1$

3°) $x > frac {3}{2}$

$left | 2x-3 ight | + left | x+2 ight | = 2x - 3 + x + 2 = 3x -1$

$3x -1 = 4 ightarrow x = frac{5}{3}$

Como $frac{5}{3} > frac{3}{2}$ é verdade, $frac{5}{3}$ é a segunda solução para o problema.

A questão nos informa que a PG é decrescente, com isso temos que $a_1 = frac{5}{3}$ e $a_2 = 1$ .

Como $q = frac{a_2}{a_1} = frac{1}{frac{5}{3}}$ , temos $q = frac{3}{5}$ e o termo geral $a_n = frac{5}{3}cdot(frac{3}{5})^{n-1}$ .

Para obter uma resposta no formato dos itens, podemos reescrever o termo geral da seguinte forma:

$a_n = frac{5}{3}cdot(frac{3}{5})^{n-1} = frac{5}{3}cdot(frac{3}{5})^{n}cdot(frac{3}{5})^{-1}$

$a_n = frac{5}{3}cdot(frac{3}{5})^{n}cdotfrac{5}{3}$

$a_n = frac{25}{9}cdot(frac{3}{5})^{n}$

Portanto, a alternativa correta é a LETRA A.

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