Questão 3

EFOMM 2011

Matemática

(EFOMM - 2011) Seja a função f : Z → Q (sendo Z o conjunto dos números inteiros e Q o conjunto dos números racionais) com a seguinte propriedade definida por $f(x-1) +1 = frac{f(x-1)-1}{f(x)}$ .

Sabendo-se que f(0) = 4, o valor de f(1007) é igual a

-1.

-1/4.

-5/3.

3/5.

Gabarito:

-5/3.

Resolução:

$f(x-1) +1 = frac{f(x-1)-1}{f(x)}$

1) Multiplicando ambos os lados por $f(x)$ , $f(x) eq 0$ :

$f(x)[f(x-1) +1] = f(x-1)-1$

2) Isolando o $f(x)$ :

$f(x) = frac{f(x-1)-1}{f(x-1) +1}$

3) Organizando o numerador:

$f(x) = frac{f(x-1)+1-2}{f(x-1) +1}$

4) Com isso, podemos reorganizar em duas frações:

$f(x) = frac{f(x-1)+1}{f(x-1) +1} - frac{2}{f(x-1) +1}$

5) Assim, temos que

$f(x) = 1 - frac{2}{f(x-1) +1}$
6) Com isso, para
x = 1, f(1) = 3/5
x = 2, f(2) = -1/4
x = 3, f(3) = -5/3
x = 4, f(4) = 4
x = 5, f(5) = 3/5
x = 6, f(6) = -1/4
x = 7, f(7) = -5/3
x = 8, f(8) = 4

7) Podemos perceber então que a função é periódica.
$1007 = 4k + 3$ , portanto, 1007 para no terceiro valor, que equivale a $f(3) = frac{-5}{3}$

Questão 3

EFOMM 2011

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