Questão 8045
EFOMM 2016
(EFOMM - 2016) Seja o polinômio .
A respeito das raízes da equação , podemos afirmar que
todas as raízes são reais.
somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.
somente duas raízes são reais, sendo elas iguais.
somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas.
nenhuma raiz é real.
Gabarito:
somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.
Resolução:
Primeiramente, tentemos determinar algumas raízes de por inspeção. Comecemos procurando por raízes racionais.
O teorema das raízes racionais estabelece que, se um número racional , com
e
inteiros, é raiz do polinômio
, então
deve ser divisível por
, e
deve ser divisível por
.
Portanto, se possuir alguma raíz racional, seu denominador deve ser divisor de
e seu numerador deve ser divisor de
. Testando alguns divisores de
, vemos que
e
são raízes de
. Utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini duas vezes, resta-nos o polinômio
. Tentemos fatorar
Como nem (delta igual a
) nem
(delta igual a
) possuem raízes reais,
não possui raízes reais
só possui
e
como raízes reais.