Questão 25184

ESCOLA NAVAL 2014

Física

(Esc. Naval 2014)

Observe a figura a seguir.

Na figura acima, temos um disco de raio R = 0,1 m e espessura R/3 com um buraco circular de raio R/4. A distância entre o centro do disco e o centro do buraco é R/2. A massa específica do material do disco é $ho$ = 9,6 · 10³ kg/m3. Qual o módulo, em newtons, da força que, aplicada ao ponto A, garante o equilíbrio estático do disco na configuração representada acima?

Dados:

g = 10 m/s2

$Pi$ = 3

1,2

2,4

3,0

3,6

4,0

Gabarito:

3,0

Resolução:

Para fazer essa questão podemos fazer por centro de massa, mas será mais trabalhoso, ou podemos fazer dividindo o circulo em duas metades cortando no eixo y exatamente no centro da esfera. Na metade da direita teremos ela inteira, na metade da esquerda teremos o buraco. Com isso a metade da direita terá um peso maior do que a metade da esquerda, logo tem que haver uma força para cima para equilibrar o sistema, de acordo com essa imagem:

ENtão a massa do circulo sem que existisse o buraco, sabendo que a massa específica é:

$ho = frac{ M}{V}Rightarrow M= ho . VRightarrow 9,6.10^3. pi r^2. (frac{r}{3})$ Note que para calcular o volume foi usado a área do circulo vezes a espessura:

$M= 9,6.10^3. pi r^2. (frac{r}{3})Rightarrow 9,6.10^3. pi . frac{r^3}{3} =9,6.10^3.(0,1)^3=9,6Kg$

Logo a massa da metade direita será a metade da massa total (sem o buraco)

M2= 4,8Kg

A massa esquerda também teria o mesmo valor se não tivesse o buraco, logo vamos calcular qual é a parte que o buraco diminuiu da M1:

$\ ho = frac{ M}{V}Rightarrow M= ho . V \ M=9,6.10^3. pi (frac{r}{4})^2. (frac{r}{3})= frac{9,6.10^3.r^3}{16}Rightarrow frac{9,6.10^3.(0,1)^3}{16} =0,6 Kg$

Então e a massa que o buraco retirou da metade esquerda logo essa metade pesa:M1= 4,8-0,6 ->M1= 4,2Kg

Fazendo a conservação do torque temos:

$sum T =0Rightarrow M_2.g.frac{r}{2}= M_1.g.frac{r}{2} + F.r$ Lembrando que na soma dos torques devemos colocar o peso e não a massa por isso foi multiplicado por g, considere M1 a massa da esquerda e M2 a da direita, perceba que tanto M1 tanto a força F giram o corpo para o mesmo sentido, por isso elas foram somadas. Agora dividindo toda a equação por r e isolando o F temos:

$F=frac{M_2g}{2}- frac{M_1 g}{2}= frac{4,8.10}{2}- frac{4,2.10}{2}=3N$

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