Questão 34151

ESCOLA NAVAL 2014

Matemática

Sabendo que z é o número complexo z = 1/2 + i $sqrt{3}$ /2, qual o menor inteiro positivo n, para o qual o produto z.z².z³. ... .zⁿ é um real positivo?

Gabarito:

Resolução:

Aqui é bom formamos a configuração trigonométrica de z pois como estamos elevando z ao quadrado, ao cubo e assim por diante, a forma trigonométrica vai nos ajudar muito.

Vamos lá:

Primeiro tiramos o módulo de z:

$|z|^2=left(frac{1}{2} ight )^2+left(frac{sqrt{3}}{2} ight )^2=1Rightarrow |z|=1$

Daí, fazemos

$z=|z|cdotleft(cos heta+isen heta ight )=1cdotleft(frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2} ight )Rightarrow cos heta=frac{1}{2},,sen heta=frac{sqrt{3}}{2}$ .

Qual ângulo theta que satisfaz isso? É fácil ver que o ângulo de 60º se encaixa perfeitamente nessa descrição, então temos que

$heta=2kpi+frac{pi}{3}$

Agora vamos resolver para z elevado aos números do enunciado. Vamos fazer para k = 0 para facilitar nossas contas:

$z=|z|left(cos heta+isen heta ight )=cisleft(frac{pi}{3} ight )Rightarrow$

$zcdot z^2cdot z^3cdot...cdot z^n=z^{1+2+3+...+n}=z^{frac{ncdotleft(n+1 ight )}{2}}$

$z^{frac{ncdotleft(n+1 ight )}{2}}=left(cisleft(frac{pi}{3} ight ) ight )^{frac{ncdotleft(n+1 ight )}{2}}=cisleft(frac{ncdotleft(n+1 ight )}{2}cdotfrac{pi}{3} ight )=cisleft(left(n^2+n ight )cdotfrac{pi}{6} ight )$

Do enunciado queremos o menor n tal que esse número complexo que descobrimos seja real positivo:

$w=cisleft(left(n^2+n ight )cdotfrac{pi}{6} ight )=cosleft( left(n^2+n ight )cdotfrac{pi}{6} ight )+isenleft(left(n^2+n ight )cdotfrac{pi}{6} ight )$

Então, $senleft(left(n^2+n ight )cdotfrac{pi}{6} ight )=0Rightarrow left(n^2+n ight )cdotfrac{pi}{6}=0,ou,kpi$ , sendo k um natural diferente de zero.

Se $left(n^2+n ight )cdotfrac{pi}{6}=0$ , n deve ser zero e não queremos isso como resposta.

Então, $left(n^2+n ight )cdotfrac{pi}{6}=kpiRightarrow n^2+n=6kRightarrow n^2+n-6k=0$

$Delta=1^2-4cdotleft(-6k ight )cdot1=1+24k$

Daí,

$n=frac{-1pmsqrt{1+24k}}{2}$ .

Agora vamos para a parte real do complexo final $w$ : $cosleft(left(n^2+n ight)cdotfrac{pi}{6} ight )>0$

Como $n^2+n=6k$ , então:

$cosleft(left(n^2+n ight ) cdotfrac{pi}{6} ight )=cosleft(kpi ight )$

Se k = 1, fica $cosleft(pi ight )$ que é negativo. Porém, se k = 2, fica $cosleft(2pi ight )=1$ que é positivo. Então, vamos substituir k = 2 em $n=frac{-1pmsqrt{1+24k}}{2}$ :

$n=frac{-1pmsqrt{1+24cdot2}}{2}Rightarrow n = frac{-1pmsqrt{49}}{2}=frac{-1pm7}{2}=-4,ou,3$ . Como n não pode ser negativo, então nos resta afirmar que n deve ser igual a 3.

A Letra C é a correta.

Questão 34151

ESCOLA NAVAL 2014

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