Questão 37369
ESCOLA NAVAL 2014
(ESCOLA NAVAL - 2014) Considere um polinômio na variável real x, em que m e k são constantes reais. Quais os valores das constantes m e k para que P(x) não admita raiz real?
m = 4 e -2 < k < 2
m = -4 e k > 2
m = -2 e -2 < k < 2
m = 4 e |k| > 2
m = -2 e k > -2
Gabarito:
m = 4 e -2 < k < 2
Resolução:
Um fato importante para resolver esta equação é que um polinômio do quinto grau sempre possui raiz real. Podemos chegar esta conclusão graficamente, ou pensando no fato de que sempre que um polinômio não possui raizes reais, suas raizes devem ser complexas, e raizes complexas de polinômios só existem em pares (nenhum polinômio possui, 1, 3, 5... raizes complexas, apenas números pares de raízes complexas). O mesmo é valido para qualquer polinômio de grau impar.
Assim, podemos concluir que se este polinômio não possui raizes reais, ele não será um polinômio de quinto grau, ou seja, devemos anular o coeficiente que acompanha .
Temos, no polinômio, , e devemos anular este coeficiente. Vemos que
para todo valor de
, logo, este coeficiente só será nulo quando
, o que implica em
.
Anulado este termo, resta no polinômio:
Para que o polinômio do segundo grau não possua raizes reais, delta deve ser menor que 0:
Então precisamos que:
Alternativa A.