Questão 37697

ESCOLA NAVAL 2014

Matemática

(ESCOLA NAVAL - 2014) Considere as funções reais $fleft(x ight ) = frac{100}{1+2^{-x}}$ e $gleft(x ight ) = 2^{frac{x}{2}}$ , x real. Qual é o valor da função composta $(gcirc f^{-1})(90)$ ?

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Gabarito:

Resolução:

As funções são $fleft(x ight ) = frac{100}{1+2^{-x}}$ e $gleft(x ight ) = 2^{frac{x}{2}}$ . Queremos $(gcirc f^{-1})(90)$ .

Primeiro vamos entender o que nós realmente queremos:

$(gcirc f^{-1})(90)=gleft(f^{-1}left(90 ight ) ight )$ não é mesmo? Então precisamos, primeiramente, descobrir quem é a função inversa de f.

O procedimento para determinarmos a função inversa é a seguinte: chame f(x) de y, logo, y vai estar em função de x. Depois você faz o algebrismo para descobrir o x em função de y. Depois chama este x de f^-1(x') e y de x'. Vamos lá?

$fleft(x ight ) =y= frac{100}{1+2^{-x}}Rightarrow 1+2^{-x}=frac{100}{y}Rightarrow 2^{-x}=frac{100-y}{y}Rightarrow -x=log_{2}left({frac{100-y}{y}} ight )Rightarrow x=-log_{2}left({frac{100-y}{y}} ight )$

Chamando x de f^-1(x') e y de x', temos:

$f^{-1}left(x ight )=-log_2left(frac{100-x}{x} ight )$ . Então, para x' = 90, temos:

$f^{-1}left(90 ight )=-log_2left(frac{100-90}{90} ight )=-log_2left(frac{10}{90} ight )=-log_2left(frac{1}{9} ight )$

Agora fazemos

$(gcirc f^{-1})(90)=gleft(f^{-1}left(90 ight ) ight )=gleft(-log_2left(frac{1}{9} ight ) ight )=2^{frac{-log_2left(frac{1}{9} ight )}{2}}=sqrt{2^{-log_2left(frac{1}{9} ight )}}Rightarrow (gcirc f^{-1})(90)=sqrt{9}=3$ .

A alternativa correta é, portanto, a Letra B.

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