Questão 7239

Gabarito:

9

Resolução:

Da teoria de vetores, sabemos que os coeficientes da equação de um plano são os valores de cada vetor direção que forma o vetor normal ao plano. Assim, o plano dado gera =(1,-1,1).

Além disso, podemos escrever a equação de uma reta como sendo a soma de um ponto com o produto de um vetor por um real. Assim:=B + a

logo, podemos ter o a forma dos pontos genéricos dessa reta: =B + a=(1, 4, 2)+a(1,-1,1)=(1+a,4-a,2+a).

Por fim, vamos usar a distância do ponto ao plano (fórmula análoga à distância do ponto à reta):

d= |x -y +z -2|/sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2)

para o ponto genérico:

d=| (1+a) -(4-a) +(2+a) -2 |/= |3a-3|/.

para  o ponto B:

d=|1 -4 +2 -2|/=3/=.

 

Da simetria, o ponto que queremos descobrir possui a mesma distância do plano que B. Assim, teremos;

|3a-3|/=

|3a-3|=3.

abrindo o módulo, teremos:

3a-3=3 ou 3a-3=-3, ou seja, a=2 ou a=0. Perceba que para a=0 o ponto achado é o próprio B. Logo o real queremos é a=2.

Substituindo na fórmula genérica do ponto achada:(1+a,4-a,2+a)=(3,2,4)

Logo, a soma das coordenadas do ponto é 9 ;)