Questão 7287

ESCOLA NAVAL 2014

Matemática

(ESCOLA NAVAL - 2014) Sejam y = m₁x + b₁ e y = m₂x + b₂ as equações das retas tangentes à elipse x² + 4y² - 16y + 12 = 0 que passam pelo ponto P(0, 0). O valor de (m₁² + m₂²)

3/4

3/2

5/2

Gabarito:

3/2

Resolução:

$\Seja;P(x_{o},y_{o});a;equacreve{a}o;da;reta;que;passa;por;P;acute{e};dada;por:\\\y-y_{o}=m(x-x_{o})$

No caso da questão x_o = 0 e y_o = 0

$\y-0=m(x-0) ightarrow y=mx$

Vamos substituir na equação da elipse:

$\x^2+4(mx)^2-16(mx)+12=0\\x^2+4m^2x^2-16mx+12=0\(1+4m^2)x^2-16mx+12=0\\Delta =0,;pois;trata-se;de;um;caso;de;tanghat{e}ncia:\\(-16m)^2-4cdot (1+4m^2)cdot 12=0\256m^2-48-192m^2=0\64m^2=48\m=frac{pm sqrt{3}}{2}\\\m_{1}=frac{sqrt{3}}{2};;e;;m_{2}=-frac{sqrt{3}}{2}$

$m^2_{1}+m^2_{2}=frac{3}{4}+frac{3}{4}=frac{3}{2}$

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