Questão 6535

ESCOLA NAVAL 2015

Matemática

(ESCOLA NAVAL - 2015) A soma dos três primeiros termos de uma P.G. crescente vale 13 e a soma dos seus quadrados 91. Justapondo-se esses termos, obtém-se um número de três algarismos. Pode-se afirmar que o resto da divisão desse número pelo inteiro 23 vale

Gabarito:

Resolução:

sejam a, aq e aq² os três termos dessa sequência:

$a(1+q+q^2)=13$ primeira equação
$\a^2(1+q^2+q^4)=91$ ,

Vamos utilizar fatoração básica (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2.(ac + ab + bc)

$\a^2(1+q^2+q^4)=91$

$a^2[(1+q+q^2)^2-2(q+q^2+q^3)]=91$

$a^2[(1+q+q^2)^2-2q(1+q+q^2)]=91$

Da primeira equação:

1 + q + q² = 13/a

Então:

$\a^2[({color{Red} 1+q+q^2})^2-2q({color{Red} 1+q+q^2})]=91$

$a^2[(frac{13}{a})^2-2q(frac{13}{a})]=91$

$13^2-26cdot acdot q=91$

$aq=3 herefore mathbf{a=frac{3}{q}}$

Se $a(1+q+q^2)=13$

$a+aq+aqcdot q=13$

$a+3+3q=13$

$frac{3}{q}+3q-10=0$

$3q^2-10q+3=0$

$herefore mathbf{q=3}$

Logo, a sequência é: 1, 3, 9

A justaposição é 139

139/23 = 23*6 + 1

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