Questão 29839

ESCOLA NAVAL 2017

Matemática

Se $a = sqrt{3+sqrt2}$ e $b = sqrt{3-sqrt2}$ , seja $k$ o determinante da matriz , sendo assim, é correto afirmar que o coeficiente de $x^{k-1}$ no desenvolvimento de é

21.

22.

23.

24.

25.

Gabarito:

24.

Resolução:

1) Escalonando:

1.1) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_2:mathrm{:realizando}:R_2:leftarrow :R_2-frac{1}{1+a}cdot :R_1$

$egin{pmatrix}1+a&1&1&1\ 0&-frac{a^2}{1+a}&frac{a}{1+a}&frac{a}{1+a}\ 1&1&1+b&1\ 1&1&1&1-bend{pmatrix}$

1.2) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_3:mathrm{:realizando}:R_3:leftarrow :R_3-frac{1}{1+a}cdot :R_1$

$egin{pmatrix}1+a&1&1&1\ 0&-frac{a^2}{1+a}&frac{a}{1+a}&frac{a}{1+a}\ 0&frac{a}{1+a}&frac{a+bleft(a+1 ight)}{1+a}&frac{a}{1+a}\ 1&1&1&1-bend{pmatrix}$

1.3) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_4:mathrm{:realizando}:R_4:leftarrow :R_4-frac{1}{1+a}cdot :R_1$

$egin{pmatrix}1+a&1&1&1\ 0&-frac{a^2}{1+a}&frac{a}{1+a}&frac{a}{1+a}\ 0&frac{a}{1+a}&frac{a+bleft(a+1 ight)}{1+a}&frac{a}{1+a}\ 0&frac{a}{1+a}&frac{a}{1+a}&frac{a-bleft(a+1 ight)}{1+a}end{pmatrix}$

1.4) $mathrm{Trocar:filas:da:matriz:}:R_2:leftrightarrow :R_4$

$egin{pmatrix}1+a&1&1&1\ 0&frac{a}{1+a}&frac{a}{1+a}&frac{a-bleft(a+1 ight)}{1+a}\ 0&frac{a}{1+a}&frac{a+bleft(a+1 ight)}{1+a}&frac{a}{1+a}\ 0&-frac{a^2}{1+a}&frac{a}{1+a}&frac{a}{1+a}end{pmatrix}$

1.5) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_3:mathrm{:realizando}:R_3:leftarrow :R_3-1cdot :R_2$

$egin{pmatrix}1+a&1&1&1\ 0&frac{a}{1+a}&frac{a}{1+a}&frac{a-bleft(a+1 ight)}{1+a}\ 0&0&b&b\ 0&-frac{a^2}{1+a}&frac{a}{1+a}&frac{a}{1+a}end{pmatrix}$

1.6) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_4:mathrm{:realizando}:R_4:leftarrow :R_4+acdot :R_2$

$egin{pmatrix}1+a&1&1&1\ 0&frac{a}{1+a}&frac{a}{1+a}&frac{a-bleft(a+1 ight)}{1+a}\ 0&0&b&b\ 0&0&a&aleft(-b+1 ight)end{pmatrix}$

1.7) $mathrm{Trocar:filas:da:matriz:}:R_3:leftrightarrow :R_4$

$egin{pmatrix}1+a&1&1&1\ 0&frac{a}{1+a}&frac{a}{1+a}&frac{a-bleft(a+1 ight)}{1+a}\ 0&0&a&aleft(-b+1 ight)\ 0&0&b&bend{pmatrix}$

1.8) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_4:mathrm{:realizando}:R_4:leftarrow :R_4-frac{b}{a}cdot :R_3$

$egin{pmatrix}1+a&1&1&1\ 0&frac{a}{1+a}&frac{a}{1+a}&frac{a-bleft(a+1 ight)}{1+a}\ 0&0&a&aleft(-b+1 ight)\ 0&0&0&b^2end{pmatrix}$

2) $O:determinante:da:matriz:equivale:ao:produto:diagonal:da:matriz$

$left(1+a ight)frac{a}{1+a}ab^2=a^2b^2$

3) $mathrm{Trocando:duas:filas:torna-se:negativo:o:determinante,:portanto:multiplicar:o:resultado:por}:left(-1 ight)^2$

$left(-1 ight)^2a^2b^2=a^2b^2$

4) Logo, $\ k=a^2b^2=left ( sqrt{3+sqrt2} ight )^2left ( sqrt{3-sqrt2} ight )^2$

$k= (3+sqrt2)(3-sqrt2)=3^2-left(sqrt{2} ight)^2$

$k= 7$

5) Logo, queremos o coeficiente de $x^6$

6) Repare que:

$left ( 2x+frac{1}{x^2} ight )^3left ( x^2+frac{1}{2x} ight )^3=left ( (2x+frac{1}{x^2})(x^2+frac{1}{2x}) ight )^3$

7) Desenvolvendo:

$left ( 2x+frac{1}{x^2} ight )^3left ( x^2+frac{1}{2x} ight )^3=left ( 2xx^2+2xfrac{1}{2x}+frac{1}{x^2}x^2+frac{1}{x^2}cdot frac{1}{2x} ight )^3$

$left ( 2x+frac{1}{x^2} ight )^3left ( x^2+frac{1}{2x} ight )^3=left ( 2x^3+frac{1}{2x^3}+2 ight )^3$

8) Repare que

$left ( 2x^3+frac{1}{2x^3}+2 ight )^3=left ( frac{4x^6+4x^3+1}{2x^3} ight )^3=left ( frac{(2x^3+1)^2}{2x^3} ight )^3$

$left ( frac{(2x^3+1)^2}{2x^3} ight )^3=frac{(2x^3+1)^6}{8x^9}$

9) O termo geral de (2x³ + 1)⁶ é C_6,p . 2^{6 – p} . x^{18 – 3p}

Assim, o termo geral do desenvolvimento de (2x³ + 1)⁶/8x⁹é:

C_6,p . 2^{6 – p} . x^{18 – 3p}. 1/8.x⁹ = C_6,p . 2^{3 – p} . x^{9 – 3p}. Como k =7, queremos o

coeficiente de x⁶ logo, 9 – 3p = 6 → p = 1

Dessa forma, o coeficiente procurado é: C_6,1 . 2^{3 – 1} = 6!/1!.5! . 2² = 24

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