Questão 60641
(ESCOLA NAVAL - 2017) Analise as afirmativas a seguir.
I- Sejam a, b e c os lados de um triângulo, com o c > b ≥ a . Pode-se afirmar que c2 = a2 +b2 se, e somente se, o triângulo for retângulo.
II- Se um triângulo é retângulo, então as bissetrizes internas dos ângulos agudos formam entre si um ângulo de 45° ou 135°.
III- O centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo está sobre um dos catetos.
IV- O baricentro de um triângulo retângulo é equidistante dos lados do triângulo.
Assinale a opção correta.
Somente I e II são verdadeiras.
Somente II e III são verdadeiras.
Somente I e IV são verdadeiras.
Somente I, II e IV são verdadeiras.
As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.
Gabarito:
Somente I e II são verdadeiras.
Resolução:
I- Observe que c é a hipotenusa, pois c será a maior medida, além disso se o triângulo retângulo for metade de um quadrado, então teremos duas medidas iguais, b=a. Portanto é verdadeira essa alternativa.
II- Supondo que os ângulos agudos do triângulo retângulo tem medidas 2a, 2b e 90º. Sabendo que a soma dos ângulos internos vale 180º, teremos então:
2a+2b+90º=180º
2a+2b=180º-90º
2(a+b)=90º
a+b=45º
Observe que o ângulo (c),formado entre o cruzamento das bissetrizes internas desse triângulo juntamente com os ângulos a e b perfazem 180º, ou seja:
(a+b) + c = 180º
45º + c = 180º
c = 180º - 45º
c = 135º
Portanto, as bissetrizes internas dos ângulos agudos formam entre si um ângulo de 135º. Observe que estamos diante de duas possibilidades, sendo uma delas verdadeira.
III- Pela figura abaixo:
Quando temos um cÌrculo circunscrito a um triângulo retângulo, dizemos de maneira inversa que existe um triângulo inscrito em um círculo. Se a hipotenusa coincide com o diâmetro desse círculo, além do triângulo ser retângulo, o centro do círculo estará no ponto médio da hipotenusa, portanto, alternativa FALSA.