Questão 69597

ESCOLA NAVAL 2017

Matemática

(ESCOLA NAVAL - 2017)
O número h tem 241 algarismos e h = (z · w)^x. O MDC (x,25), com x natural resolvido pelo algoritmo das divisões sucessivas de Euclides, gera o esquema a seguir:

Sendo assim, é correto afirmar que a soma x + y + z + w é igual a

274

224

199

149

Gabarito:

149

Resolução:

Com base no algoritmo de Euclides fornecido pelo enunciado, temos:

$4w + 0 =z Leftrightarrow 4w = z$

$z + w = 25 Leftrightarrow 5w = 25 Leftrightarrow w = 5 ext{ e } z = 20$

$25y + z = x$

Com os valores calculados acima, podemos substituir z e w em h, de tal forma que:

$h = (zcdot w)^x$

$h = (20cdot 5)^x$

$h = 100^x$

Olhando para a quantidade de algarismos das potências de 100, temos:

$100^1 = 100$ , 3 algarismos

$100^2 = 10000$ , 5 algarismos

$100^3 = 1000000$ , 7 algarismos

...

Portanto, o número de algarismos será igual ao dobro do expoente somado 1. Como h possui 241 algarismos, teremos:

$2x + 1 = 241Leftrightarrow 2x = 240 Leftrightarrow x = 120$

Substituindo x, na última expressão resultante do algoritmo de Euclides, obtemos:

$25y + z = x Leftrightarrow 25y + 20 = 120 Leftrightarrow 25y = 100 Leftrightarrow y = 4$

Somando as quatro variáveis, temos:

$x + y + z + w = 120 + 4 + 20 + 5 = 149$

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