Questão 76433

ESCOLA NAVAL 2018

Matemática

(COL. NAVAL 2018) A quantidade de soluções inteiras da inequação $frac{1}{x^2-4}+frac{2}{x+2}geq 1$ é:

Gabarito:

Resolução:

$frac{1}{x^2-4}+frac{2}{x+2}geq 1$

$frac{1}{(x-2)(x+2)}+frac{2}{(x+2)}-1 geq 0$

$frac{1}{(x-2)(x+2)}+frac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)} - frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} geq 0$

$frac{1 + 2(x-2) - x^2+4}{(x-2)(x+2)} geq 0$

$frac{1 + 2x-4 - x^2+4}{x^2-4} geq 0$

$frac{1 + 2x- x^2}{x^2-4} geq 0$

$frac{x^2 -2x-1}{x^2-4} leq 0$

Agora vamos encontrar as raízes das equações:

Do denominador é fácil ver que as raízes são 2 e -2.

No numerador, fazendo bháskara obtemos $1 + sqrt{2} approx 2,41$ e $1 - sqrt{2} approx -0,41$

Então vamos fazer o estudo dos sinais:

Então percebemos que o momento em que a inequação é negativa é:

$(-2, 1-sqrt{2}]cup(2, 1+sqrt{2}]$

Então podemos perceber que o primeiro conjunto possui apenas 1 número inteiro que é -1, e o segundo não possui nenhum inteiro. Logo, só há 1 soloução

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