Questão 76430

ESCOLA NAVAL 2020

Matemática

(CMRJ 2020) Com o objetivo de fabricar a moldura de um quadro, um marceneiro usa uma placa de madeira retangular com largura medindo 16 dm e comprimento medindo 25 dm, O marceneiro pretende recortar um retângulo da parte interna da placa, de modo que a largura x da moldura seja constante.

A figura ilustra como ficará essa moldura.

Como o marceneiro deseja que a área total da moldura tenha, no mínimo, 10% e, no máximo, 45% da área da placa original, então a medida x, em dm, pode ser igual a qualquer valor do intervalo [a, b].

O valor do produto $acdot b$ é

1,00

1,10

1,15

1,20

1,25

Gabarito:

1,25

Resolução:

A área total da placa será $A_t = 16cdot25 = 400 ext{ dm}^2$ .

A área A da moldura deve estar no intervalo de 10% e 45%, logo, temos que $0,1cdot A_t leq A leq 0,45cdot A_t$ , ou seja, $40 leq A leq 180$ .

Essa área pode ser calculada subtraindo da área total da placa a área do retângulo interno, que será:

$(25-2x)cdot(16-2x) = 400 - 82x + 4x^2$

Dessa forma, temos:

$A = A_t - A_r Leftrightarrow A = 400 - (400 - 82x + 4x^2) Leftrightarrow A = 82x - 4x^2$

Substituindo o valor de A em cada uma das inequações obtidas anteriormente, teremos que:

(i) $40 leq 82x - 4x^2 Leftrightarrow frac{1}{2} leq x leq 20$

(ii) $82x - 4x^2leq 180 Leftrightarrow x leq frac{5}{2} ext{ ou } x geq 18$

A interseção dos dois conjuntos soluções será:

$frac{1}{2} leq x leq frac{5}{2}$

Portanto, temos que:

$acdot b = frac{1}{2} cdot frac{5}{2} = frac{5}{4} = 1,25$

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