Questão 5

ESPCEX 2006

Matemática

(EsPCEx - 2006)

Em uma cabine de um estádio de futebol, um computador registra todos os lances de uma partida. Em um desses lances, Zaqueu cobrou uma falta, fazendo a bola descrever um arco de parábola contido num plano vertical, parábola esta simétrica ao seu eixo, o qual também era vertical. A bola caiu no chão exatamente a 30 m de Zaqueu. Durante o trajeto, a bola passou raspando a cabeça do juiz. O juiz, que não interferiu na trajetória da bola, tinha 1,76 m de altura e estava ereto, a 8 m de distância de onde saiu o chute. Desse modo, a altura máxima, em metros, atingida pela bola foi de

2,25 m

4,13 m

6,37 m

9,21 m

15,92 m

Gabarito:

2,25 m

Resolução:

Podemos perceber que a trajetória da bola percorre o gráfico de uma equação de 2º grau (parábola).

Considerando que a bola, no momento do chute, estava nas coordenadas (0,0) temos que a bola passará pela cabeça do juiz (8, 1,76) e encostará no solo em (30,0).

Nós queremos encontrar a altura máxima, ou seja, o $y_v$ .

Escrevendo a fórmula geral da equação de 2º grau:

$y = a(x - 0)(x-30)$

Substituindo o ponto da cabeça do juiz:

$1,76 = a(8 - 0)(8-30)$

$1,76 = 8acdot (-22)$

$1,76 = -176a$

$a =-frac{1,76}{176}$

$a =-frac{1}{100}$

Encontrando $x_v$ :

$x_v = frac{0+30}{2} = 15$

Substituindo na fórmula:

$y_v = -frac{1}{100}cdot x cdot (x-30)$

$y_v = -frac{1}{100}cdot 15 cdot (15-30)$

$y_v = -frac{1}{100}cdot 15 cdot -15$

$y_v = frac{225}{100} = 2,25$

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