Questão 16

ESPCEX 2006

Matemática

(EsPCEx - 2006)

Dispondo de um recipiente em forma de paralelepípedo retângulo, com as dimensões da figura, preenchido com água até o nível indicado, um aluno fez o seguinte experimento:

mergulhou na água um cubo maciço, com 1 cm³de volume;
mergulhou, sucessivamente, novos cubos, cada vez maiores, cujos volumes formam, a partir do cubo de 1 cm³ de volume, uma progressão aritmética de razão 2 cm³.

Após mergulhar certo número de cubos, que ficaram completamente submersos, verificou que a altura do nível da água passou para 39 cm.

Com base nessas informações, a área total do último cubo colocado é de

54 cm²

42 cm²

24 cm²

150 cm²

216 cm²

Gabarito:

54 cm²

Resolução:

Os volumes dos cubos representam uma PA de razão 2, logo, chamando o último termo de x:

$x = a_1 + (n-1)r$

$x = a_1 + 2(n-1)$

$x = 1 + 2n-2$

$x = 2n-1$

Encontrando a soma:

$S_n = frac{(a_1+a_n)n}{2}$

$S_n = frac{(1+2n-1)n}{2}$

$S_n = frac{2n^2}{2}$

$S_n = n^2$

Encontrando o valor de n:

$7cdot 14 cdot 2 = n^2$

$196= n^2$

$n=14$

Encontrando o volume do último cubo:

$x = 2n-1$

$x = 2cdot 14 -1$

$x = 27$ cm³

$x = 27 Rightarrow a=3$

Então a área total:

$A_t = 6a^2$

$A_t = 6cdot 9$

$A_t = 54$ cm²

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