Questão 32460

ESPCEX 2018

Matemática

(ESPCEX 2018) Na figura abaixo, a equação da circunferência é $x^{2}+y^{2}=3$ e a reta suporte do segmento MN tem coeficiente angular igual a $sqrt{3}$ .

O volume do sólido gerado pela rotação do trapézio MNPO em relação ao eixo y é

$frac{3pi}{8}$

$frac{21pi}{8}$

$frac{9pisqrt{3}}{8}$

$frac{24pisqrt{3}}{8}$

$frac{63pisqrt{3}}{8}$

Gabarito:

$frac{21pi}{8}$

Resolução:

Como vemos ao rotacionar formaremos um sólido cujo volume será dado por:

O volume desse sólido pode ser calculado tomando o volume do cone original subtraído pela parte retirada V₁:

Então calculamos primeiramente V1 + V2:

$V_{1} + V_{2} = frac{1}{3} pi (overline{MO})^{2} cdot h$

- h representa a ordenada do ponto de intersecção da reta suporte do segmento MN com o eixo y;

Como a reta tem coeficiente angular igual a $sqrt{3}$ , fazemos:

$frac{h}{MO} = sqrt{3} Rightarrow h = sqrt{3} cdot MO Rightarrow h = 3$

Logo:

$V_{1} + V_{2} = frac{1}{3} pi cdot 3 cdot 3 = 3 pi$

Agora calculando V1:

$V_{1} = frac{1}{3} pi (overline{NP})^{2} cdot (h - overline{OP})$

Para encontrarmos N, tomamos a equação da reta $y = sqrt{3}x + 3$ e substituímos na equação da circunferência:

$x^{2} + (sqrt{3}x + 3)^{2} = 3 Rightarrow left{egin{matrix} x_{1} & = -sqrt{3} Rightarrow M(-sqrt{3, 0})\ x_{2 }& = -frac{sqrt{3}}{2} Rightarrow N(-frac{sqrt{3}}{2}, frac{3}{2}) end{matrix} ight.$

Logo P = (0, 3/2)

Assim, $V_{1} = frac{1}{3} pi frac{3}{4} cdot frac{3}{2} = frac{3pi}{8}$

Então, $V_{2} = 3pi - frac{3pi}{8} = frac{21pi}{8}$

Alternativa B.

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