Questão 32470

ESPCEX 2018

Matemática

(ESPCEX 2018) A equação $log_{3}left ( x ight )=1+12log_{x^{2}}left ( 3 ight )$ tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é

$frac{1}{3}$

$frac{3}{2}$

Gabarito:

Resolução:

$log _{3}x = 1 + 12 log_{x^{2}}3$

Reescrevendo:

$log_{x^{2}}3 = frac{1}{2}log_{x}3 = frac{1}{2} frac{1}{log_{3}x}$

$log _{3}x = 1 + 12 cdot frac{1}{2} cdot frac{1}{log_{3}x} = 1 + frac{6}{log_{3}x}$

$log_{3}x = 1 + frac{6}{log_{3}x} Rightarrow (log_{3}x)^{2} = log_{3}x + 6$

Fazendo uma mudança de variável, fazendo $log_{3}x = y$

Obtemos:

$y^{2} - y - 6 = 0$

$y = 3 e y = -2$

Para y = 3:

$log_{3}x = 3 Rightarrow x_{1} = 27$

Para y = -2 :

$log_{3}x = -2 Rightarrow x_{2} = frac{1}{9}$

Portanto: $x_{1} x_{2} = 27 cdot frac{1}{9} = 3$

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