Questão 18

ESPCEX 2018

Matemática

(ESPCEX 2018) Sabendo que o número complexo i (sendo i a unidade imaginária) é raiz do polinômio $pleft ( x ight )=x^{5}-2x^{4}-x+2$ , podemos afirmar que $pleft ( x ight )$ tem

duas raízes iguais a i, uma raiz racional e duas raízes irracionais

i e -i como raízes complexas e três raízes irracionais

uma raiz complexa i e quatro raízes reais

i e -i como raízes complexas e três raízes inteiras

três raízes simples e uma raiz dupla

Gabarito:

i e -i como raízes complexas e três raízes inteiras

Resolução:

$p(x) = x^{5} -2x^{4} - x + 2$

i é raiz: como os coeficientes são reais, -i também é raiz.

Por inspeção, 1 e -1 também são raízes. Assim, já encontramos 4 raízes:

i, -i, 1, -1.

Isto posto, a raiz que falta é obrigatoriamente real, uma vez que os coeficientes do polinômio são reais.

$p(x) = (x-i)(x+i)(x-1)(x+1) (x - x_{5})$

$x-x_{5} = frac{x^{5} -2x^{4} -x + 2}{ (x-i)(x+i)(x-1)(x+1)} = frac{x^{4}(x-2) - (x-2)}{(x^{2} + 1)(x^{2}-1)}$

$x-x_{5} = frac{(x-2)(x^{4}-1)}{x^{4}-1} Rightarrow x-x_{5} = x-2$

$x_{5} = 2$

Logo: 2 raízes complexas e 3 inteiras.

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