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Questão 32473

ESPCEX 2018
Matemática

(ESPCEX 2018) No plano complexo, temos uma circunferência lambda de raio 2 cetrada na origem. Sendo ABCD um quadrado inscrito à lambda, de acordo com a figura abaixo, podemos afirmar que o número complexo que representa o vértice B é

 

A

frac{-1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i

B

-sqrt{3}-i

C

-1+sqrt{3}i

D

frac{-1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i

E

frac{-sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i

Gabarito:

-1+sqrt{3}i



Resolução:

No plano de Argand-Gauss, o eixo x compreende a parte real de um ponto complexo e o eixo y representa a parte imaginária.

Repare que o segemento overline{AO} é metade da diagonal do quadrado, uma vez que parte de seu vértice até o centro do quadrado, assim sendo, esse segmento fará um ângulo de 90 graus com o segmento overline{BO} que é o segmento da outras diagonal do quadrado, sabendo disso temos uma situação do tipo:

Sabendo que o valor da do segmento overline{BO} é igual a 2, devido a coincidir com o raio da circunferência, e aplicando as relações do triângulo retângulo no triângulo em vermelho conseguimos obter o valor, em módulo, das partes real e imaginária do ponto B.

sen(60)=frac{sqrt{3}}{2}=frac{b}{2}
ightarrow b=sqrt{3}

cos(60)=frac{1}{2}=frac{a}{2}
ightarrow a=1

Como a está no lado negativo do gráfico então na verdade a=-1, assim temos que o ponto B corresponde ao número -1+sqrt{3}i

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