Questão 27

ESPCEX 2020

Física

(EsPCEx - 2020)

O desenho abaixo mostra um semicírculo associado a uma rampa, em que um objeto puntiforme de massa m, é lançado do ponto X e que inicialmente descreve uma trajetória circular de raio R e centro em O.

Se o módulo da força resultante quando o objeto passa em Y é $sqrt{5} mg$ , sendo a distância de Y até a superfície horizontal igual ao valor do raio R, então a altura máxima $(h_{max})$ que ele atinge na rampa é:

DADOS: Despreze as forças dissipativas.
Considere g a aceleração da gravidade.

Desenho Ilustrativo - Fora de Escala

2 R

R $sqrt2$

5 R

3 R

R $sqrt3$

Gabarito:

2 R

Resolução:

Analisando as forças nesse sistema:

Como o ângulo entre a normal e o peso vale 90º por pitágoras temos:

$F_{R}^{2} = N^{2} + P^{2}$

$(sqrt{5}cdot mg)^{2} = N^{2} + mg^{2}$

$5m^{2}g^{2} = N^{2} + m^{2}g^{2}$

$N^{2} = 4m^{2}g^{2}$

$N = 2mg$

Como a normal é igual à força centripeta nesse ponto

$F_{C} = N$

$frac{mv^{2}}{R} = 2mg$

$v^{2} = 2Rg$ (equação 1)

Assim, a energia no ponto y vale

$E_{y} = E_{g}+E_{c}$

$E_{y} = mgR+frac{mv^{2}}{2}$ (equação 2)

Substituindo a equação 1 na equação 2:

$E_{y} = mgR+frac{2mRg}{2}$

$E_{y} = 2mgR$

Como a energia se conserva, $E_{hmax}=E_{y}$ e na altura máxima a $E_{c}=0$ , temos

$E_{y} = E_{max}$

$2mgR = mgh_{max}$

$h_{max} = 2R$

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