Questão 5

ESPCEX 2020

Matemática

(EsPCEx - 2020) Sabendo-se que a equação 2x²+ ay² - bxy - 4x + 8y + c = 0 representa uma circunferência de raio 3, a soma a + b + c é igual a

A

-10.

B

-6.

C

-2.

D

2.

E

6.

Gabarito:

-6.

Resolução:

$2x^2 + ay^2 - bxy - 4x + 8y + c = 0$

é uma circunferência de raio 3.

Vamos manipular essa equação algebricamente a fim de que possamos escrevê-la na forma:

$(x - gamma )^2 + (y - delta)^2 = raio^2$

que representa uma circunferência:

Para que I seja quadrado fazemos:

$2x^2 - 4x + 2 - 2 = 2(x^2 -2x + 1) - 2 = 2(x - 1)^2 - 2$

Como esse termo está multiplicando por 2, então devemos dividir toda a equação por 2, para obter o formato tradicional de circunferência:

$2(x - 1)^2 - 2 + y^2 + 8y = bxy - c$

$(x - 1)^2 -1 + frac{a}{2}y^2 + 4y = frac{b}{2}xy - frac{c}{2}$

$(x - 1)^2 -1 + frac{a}{2}y^2 + 4y = frac{bxy}{2}xy + 1- frac{c}{2}$

Definindo como termo 2:

$frac{a}{2}y^2 + 4y$

Agora vamos para o termo II que deve se igualar a $ext (y - delta )^2$ . Faremos da mesma forma, como acima:

$frac{a}{2}y^2 + 4y = frac{a}{2}y^2 + 4y + k - k$

$frac{a}{2}y^2 + 4y + k = (y - gamma)^2 = y^2 - 2 delta y + delta^2$

Fazendo equivalência polinomial temos:

$frac{a}{2} = 1$

$4 = - 2delta$

$k = delta ^2$

Daí: $ext a = 2$ $delta = -2$ $K = 4$

O termo II fica assim:

$frac{a}{2}y^2 + 4y = frac{a}{2}y^2 + 4y + k - k = (y^2 + 4y + 4) - 4 = (y + 2)^2 - 4$

Juntando termos I e II:

$(x - 1)^2 + frac{a}{2}y^2 + 4y = frac{bxy}{2} + 1 - frac{c}{2}$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 4 = frac{bxy}{2} + 1 - frac{c}{2}$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = frac{bxy}{2} + 5 - frac{c}{2}$

Como:

$frac{bxy}{2} + 5 - frac{c}{2} = raio^2 = 3^2 = 9$

Então b = 0

$5 - frac{c}{2} = 9$

$c = 2(5-9) = -8$

Daí:

a + b + c = 2 + 0 + (-8) = -6

Gabarito: letra B

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