Questão 4

ESPCEX 2023

Matemática

(EsPCEx - 2023)

Qual o valor da soma das raízes da equação $(x^{2}+2)+2+frac{4}{(x^{2}+2)} + frac{8}{(x^{2}+2)^{2}}+...=8$ ?

-1

Gabarito:

Resolução:

$(x^{2}+2)+2+frac{4}{(x^{2}+2)} + frac{8}{(x^{2}+2)^{2}}+...=8$

Se observarmos temos que essa parte abaixo é PG:

$2+frac{4}{(x^{2}+2)} + frac{8}{(x^{2}+2)^{2}}...$

Então vamos passar o $(x^{2} + 2)$ para o lado direito, então:

$2+frac{4}{(x^{2}+2)} + frac{8}{(x^{2}+2)^{2}}+...=8 - (x^{2}+2)$

Então como sabemos que o lado direito é PG, vamos usar a soma:

$frac{2}{1-frac{2}{x^{2}+2}} = 8 - x^{2} -2$

$frac{2}{frac{x^{2}+2- 2}{x^{2}+2}} = 8 - x^{2} -2$

$frac{2}{frac{x^{2}}{x^{2}+2}} = 6 - x^{2}$

$2x^{2} + 4 = 6x^{2} - x^{4} \ \ x^{4} -4x^{2} + 4 = 0 \ \ (x^{2} -2) = 0 \ \$

$x^{2} = 2 \ \ x = pm sqrt{2}$

Então a soma das raízes é zero, pois as raízes tem valores opostos.

Gabarito: B

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