Questão 7144

FAMERP 2017

Matemática

(Famerp 2017) No estudo da dinâmica de populações é comum ser necessário determinar o número real λ na equação det(M - λI) = 0, em que M é uma matriz quadrada, I é a matriz identidade, da mesma ordem de M, e det representa o determinante da matriz (M - λI).

Se, em um desses estudos, tem-se M

$M = egin{pmatrix}0&17&2\ 2&0&0\ 1&0&0end{pmatrix}$

o valor positivo de λ é igual a:

Gabarito:

Resolução:

1) Primeiramente calcularemos M - λI:

$egin{pmatrix}0&17&2\ 2&0&0\ 1&0&0end{pmatrix}-lambda egin{pmatrix}1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1end{pmatrix}$

$egin{pmatrix}0&17&2\ 2&0&0\ 1&0&0end{pmatrix}-egin{pmatrix} lambda &0&0\ 0& lambda &0\ 0&0& lambda end{pmatrix}$

$egin{pmatrix}- lambda &17&2\ 2&- lambda &0\ 1&0&- lambda end{pmatrix}$

2) Calculando o determinante de M - λI:

2,1) Usando a fórmula:

$egin{vmatrix}a&b&c\ d&e&f\ g&h&iend{vmatrix}=acdot egin{vmatrix}e&f\ h&iend{vmatrix}-bcdot egin{vmatrix}d&f\ g&iend{vmatrix}+ccdot egin{vmatrix}d&e\ g&hend{vmatrix}$

2.2) Desenvolvendo:

$egin{vmatrix}- lambda &17&2\ 2&- lambda &0\ 1&0&- lambda end{vmatrix} = -lambda egin{vmatrix}-lambda &0\ 0&-lambda end{vmatrix}-17cdot egin{vmatrix}2&0\ 1&-lambda end{vmatrix}+2cdot egin{vmatrix}2&-lambda \ 1&0end{vmatrix}$