Questão 33039

FATEC 1979

Matemática

(FATEC - 1979) Num trapézio isósceles ABCD as bases são dadas, respectivamente, por AD = 2 cm e BC = 5 cm. Em tal trapézio traça-se MN paralelo a AD e tal que AM = (1/3).AB. Então o comprimento do segmento MN é:

3 cm

1/3 cm

5/2 cm

7/2 cm

5/3 cm

Gabarito:

3 cm

Resolução:

O trapézio ABCD é o seguinte:

AM = (1/3).AB, como informado no enunciado.
AD é paralelo a MN, logo MN também é paralelo a CB.
Cortamos o trapézio com a reta vermelha AF e outra reta vermelha à esquerda. Estas duas retas dividem MN e BC em três partes:

Parte do meio: como exposto acima, a parte do meio segue o mesmo comprimento de AD, ou seja, 2 cm. Logo, de MN e BC, o que resta deve ter comprimento x - 2 e 5 - 2 = 3 cm, respectivamente
Parte da direita: sabemos que sobrou x - 2 e 3 cm pra parte da direita e parte da esquerda em, respectivamente, MN e BC. Repare que a parte da esquerda é igual à parte da direita. Isto acontece devido à simetria que o trapézio ABCD possui dado a sua característica de trapézio isósceles (dois lados iguais). Logo, o comprimento da parte da direita, para ME e BF, respectivamente, é (x - 2)/2 cm e 3/2 cm.
Parte da esquerda: como exposto acima, a parte da esquerda é simétrica à parte da direita.

Já que obtemos o comprimento de ME e BF, podemos fazer a semelhança de triângulos AME e ABF:

$frac{AM}{ME}=frac{AB}{BF}Rightarrow ME = AMcdotfrac{BF}{AB}=BFcdotfrac{AM}{AB}=BFcdotfrac{1}{3}=frac{3}{2}cdotfrac{1}{3}=frac{1}{2}Rightarrow ME = frac{x-2}{2} = frac{1}{2}Rightarrow x-2=1Rightarrow x=3,,cm$

Como x = MN, então MN = 3 cm. A alternativa correta é, portanto, a Letra A.