Questão 33093

FATEC 1979

Matemática

(FATEC 1979) Na figura abaixo, ABFG e BCDE são dois quadrados com lados, respectivamente, de medida a e b. Se $overline{AG} = overline{CD} + 2$ e o perímetro do triângulo ACG é 12, então, simultaneamente, a e b pertencem ao intervalo:

]1; 5[

]0; 4[

]2; 6[

]3; 7[

]4; 8[

Gabarito:

]0; 4[

Resolução:

Considerando AG = a e CD = b

1) Se AG = CD + 2, logo temos que $a = b + 2$

2) Sabendo que o triângulo AGC é retângulo, aplicamos o teorema de Pitágoras:

$\ AG^2+(AB+BC)^2=CG^2 \ a^2 + (a+b)^2 = CG^2 \ CG^2 = a^2 + a^2 + 2ab + b^2 \ CG^2 = 2a^2+2ab+b^2 \ CG = sqrt{2a^2+2ab+b^2} \ CG = sqrt{2(b+2)^2+2(b+2)b+b^2} \ CG = sqrt{5b^2+12b+8}$

3) O perímetro do triângulo ACG é 12, logo:

$\ CG + AB+BC+ AG = 12 \ sqrt{5b^2+12b+8} + a + a + b = 12 \ sqrt{5b^2+12b+8} + b +2 + b + 2 + b = 12 \ sqrt{5b^2+12b+8}+3b+4=12 \ sqrt{5b^2+12b+8}=-3b+8 \ left(sqrt{5b^2+12b+8} ight)^2=left(-3b+8 ight)^2 \ 5b^2+12b+8=9b^2-48b+64 \ b = 1 \ a = 3$

Questão 33093

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