Questão 6641

Gabarito:

Resolução:

Relações importantes:

I) sen(a + b) = sen(a) * cos(b) + sen(b) * cos(a) 
II) sen(2a) = 2 * sen(a) * cos(a) 
III) sen²(a) + cos²(a) = 1 
IV) cos(2a) = cos²(a) - sen²(a) 

Agora começamos elevando ao quadrado os dois lados de sen(x) = -1/2, obtermos: 
sen²(x) = 1/4 

Agora, usando a fórmula (III) obtemos que: 
1/4 + cos²(x) = 1 
cos²(x) = 3/4 
cos(x) = √3/2 (Note que o valor é positivo, pois x é um arco do 4º quadrante.) 

Agora, vamos usar a fórmula (I) para determinar o valor de sen(4x): 
sen(4x) = sen(2x + 2x) = sen(2x) * cos(2x) + sen(2x) * cos(2x) = 2 * sen(2x) * cos(2x) 

Logo, sen(4x) = 2 * sen(2x) * cos(2x). 

Vamos usar as fórmulas (II) e (IV) para determinar o valor de sen(2x) e de cos(2x). 
sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x) 
sen(2x) = 2 * (-1/2) * √3/2 
sen(2x) = -√3/2 

cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) 
cos(2x) = 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2 

Substituindo esses valores em sen(4x) = 2 * sen(2x) * cos(2x), obtemos: 
sen(4x) = 2 * (-√3/2) * 1/2 
sen(4x) = -√3/2