Questão 20974

FGV 1975

Matemática

(GV - 75) O lado do octógono regular inscrito num círculo de raio unitário é:

. Pode-se concluir que vale:

Gabarito:

Resolução:

$\\ ext{Veja que o ângulo interno de um octógono é exatamente } frac{2pi}{8}=frac{pi}{4} ext{, o qual é o dobro de } frac{pi}{8} ext{. Assim, no triângulo isósceles formado pelo lado do octógono e pelos raios da circunferência, tem-se que o lado do triângulo é dado por:} \\ ell=2cdot senfrac{pi}{8};;Rightarrow;;senfrac{pi}{8}=frac{sqrt{2-sqrt{2}}}{2};;Rightarrow;;sen^2frac{pi}{8}=frac{2-sqrt{2}}{4};;Rightarrow;;1-sen^2frac{pi}{8}=frac{2+sqrt{2}}{4}\\ ext{Mas da relação fundamental da trigonometria, tem-se que:} \\ cos^2x+sen^2x=1;;Rightarrow;;cosfrac{pi}{8}=frac{sqrt{2+sqrt{2}}}{2}$

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