Questão 32990

Gabarito:

91

Resolução:

Temos a expressão:

Sabemos que:

cos²(0) = cos²(360)

cos²(2) = cos²(358)

cos²(4) = cos²(356)

...

cos²(178) = cos²(182)

cos²(180) = 1

Substituindo essas igualdades em E, temos:

E = 1 + 2*( cos²(0) + cos²(2) + cos²(4) + ... + cos²(178) )

Além disso, sabemos que, sendo um ângulo x, temos que:

cos(180 - x) = - cos(x)

Ao elevarmos ao quadrado, temos:

cos²(180 - x) = cos²(x)

Isto significa que o quadrado dos cossenos de ângulos suplementares são iguais. Logo, temos que:

cos²(2) = cos²(178)

cos²(4) = cos²(176)

cos²(6) = cos²(174)

...

cos²(88) = cos²(92)

cos²(90) = 0

Substituindo em E, temos:

E = 1 + 2*( cos²(0) + 2*( cos²(2) + cos²(4) + ... + cos²(88) + cos²(90) ) ) 

Sabemos ainda, que o cosseno do ângulo complementar de x é igual ao seno de x. Sendo assim, temos que:

cos²(88) = sen²(2)

cos²(86) = sen²(4)

...

cos²(46) = sen²(44)

Substituindo isso em E, temos:

E = 1 + 2*( cos²(0) + 2*( cos²(2) + sen²(2) + cos²(4) + sen²(4) + cos²(6) + sen²(6) + ... + cos²(44) + sen²(44) + cos²(90) ) )

Lembrando da relação fundamental da trigonometria, temos que, para qualquer x real cos²x + sen²x = 1. Desse modo, aplicando em E, temos:

E = 1 + 2*( cos²(0) + 2*( 1 + 1 + 1 + ... + 1 + cos²(90) )  = 1 + 2*( cos²(0) + 2*(22 + cos²(90) ) )

Substituindo cos²(0) = 1 e cos²(90) = 0, temos:

E = 1 + 2*(1 + 2*22) = 91