Questão 62268

FGV 2011

Matemática

(ESPM - 2011) O valor da expressão $frac{sqrt{2}-1}{sqrt{2}+1}-frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1}$ é igual a:

$2sqrt{2}$

$-2sqrt{2}$

$4sqrt{2}$

$-4sqrt{2}$

Gabarito:

$-4sqrt{2}$

Resolução:

A expressão dada é:

$frac{sqrt{2}-1}{sqrt{2}+1}-frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1}$

Realizando o produto entre as bases e os devidos ajustes ao numerador, de forma a realizar a subtração:

$frac{(sqrt{2}-1) imes (sqrt{2}-1)-((sqrt{2}+1) imes(sqrt{2}+1))}{(sqrt{2}+1)(sqrt{2}-1)}$

Note que:

No numerador temos dois produtos notaveis, um da forma $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ e outro da forma $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ .

No denominador temos um produto notavel, da forma $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ .

Reescrevendo a expressão utilizando dos produtos notaveis:

$frac{sqrt{2}^2 - 2cdotsqrt{2}cdot 1+1^2 - (sqrt{2}^2+2cdotsqrt{2}cdot1+1^2)}{sqrt{2}^2 - 1^2}$

$frac{2-2sqrt{2}+1-(2+2sqrt{2}+1)}{2-1}$

$frac{2-2sqrt{2}+1-2-2sqrt{2}-1)}{1}$

$-2sqrt{2}-2sqrt{2}=-4sqrt{2}$

Alternativa E.

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