Questão 7557

FGV 2011

Matemática

(Fgv 2011) No plano cartesiano, a reta tangente à circunferência de equação x² + y² = 8, no ponto P de coordenadas (2, 2), intercepta a reta de equação y = 2x no ponto:

Gabarito:

Resolução:

Pela equação da circunferência, seu gráfico no plano cartesiano é uma circunferência com centro na origem $(0,0)$ e raio $r=2sqrt{2}$ .

Desenhando a reta tangente à circunferência no ponto $P(2,2)$ , conseguimos deduzir, por geometria (semelhança de triângulo) que ela intercepta o eixo y no ponto $(4,0)$ . Com esses dois pontos temos a equação da reta tangente à circunferência:

$y=ax+b$

$left{egin{matrix} egin{aligned}2=a.2+b \ 4=b end{aligned} end{matrix} ight.$

$y=-x+4$

E, finalmente, de modo a encontrar o ponto de intercessão com a reta de equação $y=2x$ , resolvemos o sistema>

$left{egin{matrix} egin{aligned}y=-x+4 \ y=2x end{aligned} end{matrix} ight.$

Resolvendo o sistema encontramos os seguintes valores para $x$ e $y$ :

$x=frac{4}{3}: :: : : : y=frac{8}{3}$

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