Questão 5890

FGV 2015

Matemática

(FGV - 2015) A raiz quadrada da diferença entre a dízima periódica 0,444... e o decimal de representação finitaé igual a 1 dividido por

90.000.

120.000.

150.000.

160.000.

220.000

Gabarito:

150.000.

Resolução:

Seja $x=0,444...$

Temos que $10^{10}x=444...4,444...$ (10 vezes o número 4 antes da vírgula)

Sendo assim, $10^{10}x-x=444...4,444...-0,444...$

Então:

$x(10^{10}-1)=444...4$ (10 vezes o número 4)

$x(10^{10}-1)cdot 10^{-10}=0,444...4=y$ (i) (10 vezes o número 4 depois da vírgula)

Calculando x:

$10x=4,444...$

$10x-x=4,444...-0,444...$

$9x=4$

$x=frac{4}{9}$ (ii)

Substituindo em (i):

$x(10^{10}-1)cdot 10^{-10}=0,444...4=y$

$frac{4}{9}cdot (10^{10}-1)cdot 10^{-10}=y$

Assim $sqrt{x-y}=$

$sqrt{frac{4}{9}-frac{4}{9}cdot (10^{10}-1)cdot 10^{-10}}=$

$sqrt{frac{4}{9}cdot [1-(10^{10}-1)cdot 10^{-10}]}=$

$sqrt{egin{pmatrix} frac{2}{3} end{pmatrix}^2cdot [1-10^{10}cdot 10^{-10}+10^{-10}]}=$

$sqrt{egin{pmatrix} frac{2}{3} end{pmatrix}^2cdot [1-1+10^{-10}]}=$

$sqrt{egin{pmatrix} frac{2}{3} end{pmatrix}^2cdot (10^{-10})}=$

$frac{2}{3} cdot 10^{-5}$

$frac{2}{3} cdot frac{1}{10^5}$

$frac{1}{150000}$

Alternativa correta é Letra C.

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