Questão 39701

FGV 2018

Matemática

(FGV 2018) Um triângulo isósceles $ABC$ , com $overline{AB}=overline{AC}=1,cm$ , é tal que cada ângulo da base $overline{BC}$ mede o dobro do ângulo do vértice $A$ . Se $cos(18^o)=m$ , então o quadrado de $overline{BC}$ é igual a:

$2left(1+m-sqrt{1-m^2} ight)$

$2left(1-m+sqrt{1-m^2} ight)$

$2-2m^2$

$4-2m^2$

$4-4m^2$

Gabarito:

$4-4m^2$

Resolução:

Primeiramente, no triângulo $ABC$ vamos fazer a soma dos ângulos internos. Vamos chamar $alpha$ o ângulo do vértice $A$ . Então:

$alpha+2alpha+2alpha=180 ightarrow 5alpha=180 hereforealpha=36^o$

Com isso, temos a seguinte configuração dos ângulos:

Traçando a altura relativa à base, ela divide o ângulo do vértice $A$ em dois ângulos iguais, já que o triângulo é isósceles. Então:

Temos $cos(18^o)=m ightarrowsin(18^o)=sqrt{1-m^2}$

Aplicando o seno de 18º no triângulo $ABD$ :

$sin(18^o)=frac{frac{overline{BC}}{2}}{1} ightarrow sqrt{1-m^2}=frac{overline{BC}}{2} hereforeoverline{BC}=2sqrt{1-m^2}$

Como o enunciado pediu o quadrado de $overline{BC}$ , temos:

$overline{BC}^2=4(1-m^2)=4-4m^2$

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