Questão 76720

FUVEST 1994

Matemática

(Fuvest 1994) O número real $x$ que satisfaz a equação $log_{2}(12-2^x)=2x$ é:

A

$log_{2}5$

B

$log_{2}sqrt{3}$

C

2

D

$log_{2}sqrt{5}$

E

$log_{2}3$

Gabarito:

$log_{2}3$

Resolução:

$log_{2}(12-2^x)=2x$

Primeiro aplicaremos o conceito básico de logarítmo:

$2^{2^{x}} = 12 - 2^{x}$

$2^{x} . 2^{x}= 12 - 2^{x}$

Vamos chamar $2^{x} = y$

$\ y. y= 12 - y \ \ y^{2} + y -12 = 0$

Aplicando bháscara, temos:

$Delta = 1 - 4.1.(-12) = 1 + 48 = 49$

$Y_{1,2} = frac{-1pm sqrt{49}}{2.1} = frac{-1 pm 7}{2}$

$Y_{1} = frac{-1 + 7}{2} = 3$

$Y_{2} = frac{-1 - 7}{2} = -4$

Veja que essa última solução podemos descartar:

Então:

$y = 2^{x}$

$3 = 2^{x}$

$log_{2}3 = log_{2}2^{x}$

$log_{2}3 = x log_{2}2$

$log_{2}3 = x .1$

$x = log_{2}3$

Gabarito: E

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