Questão 69855

FUVEST 1998

Matemática

(Fuvest 1998) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16.

O maior valor que um desses inteiros pode assumir é

100

Gabarito:

Resolução:

Com base nas informações fornecidas no enunciado, temos:

$frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5} = 16 Leftrightarrow a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = 80$

Sem perda de generalidade, vamos supor que $a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > a_5$ . Para que $a_1$ seja o maior possível, os demais termos devem ser os menores possíveis, sendo eles estritamente positivos e diferentes, com isso temos que: $a_5 = 1$ , $a_4 = 2$ , $a_3 = 3$ e $a_2 = 4$ .

Dessa forma, temos:

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = 80$

$a_1+4+3+2+1 = 80$

$a_1 = 70$

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