Questão 6

FUVEST 2001

Física

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questão 6)

Uma pequena esfera de material sólido e transparente é utilizada para produzir, a partir de um pulso de luz laser, vários outros pulsos. A esfera, de raio r = 2,2 cm, é espelhada, exceto em uma pequena região (ponto A). Um pulso de luz, de pequena duração, emitido pelo laser, segue a trajetória R₀, incidindo em A com ângulo de incidência de 70°. Nesse ponto, o pulso é, em parte, refletido, prosseguindo numa trajetória R₁, e, em parte, refratado, prosseguindo numa trajetória R₂ que penetra na esfera com um ângulo de 45° com a normal. Após reflexões sucessivas dentro da esfera, o pulso atinge a região A, sendo em parte, novamente refletido e refratado. E assim sucessivamente. Gera-se, então, uma série de pulsos de luz, com intensidades decrescentes, que saem da esfera por A, na mesma trajetória R₁. Considere sen 70° = 0,94 ; sen 45° = 0,70. Nessas condições,

a) Represente, na figura da folha de respostas, toda a trajetória do pulso de luz dentro da esfera.

b) Determine, em m/s, o valor V da velocidade de propagação da luz no interior da esfera.

c) Determine, em segundos, a separação (temporal) ∆_t, entre dois pulsos sucessivos na trajetória R₁.

O índice de refração de um material é igual à razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz nesse material.

Gabarito:

Resolução:

a) Temos pelas leis da reflexão que o ângulo de reflexão vai ser igual ao de incidência, ficando dessa maneira:

b) Utilizando da lei de Snell e adotando o índice de refração do ar como 1, podemos encontrar o índice de refração da esfera:

$n_1cdot sen heta_1=n_2cdot sen heta_2\ 1cdot sen(70^circ)=n_2cdot sen(45^circ)\ 1cdot 0,94=n_2cdot 0,70\ n_2=frac{0,94}{0,70}$

Temos que o índice de refração é:

$n=frac{c}{v}$

A razão entre a velocidade inicial da luz e a que ela começa a viajar dentro do meio. Assim:

$frac{0,94}{0,70}=frac{3cdot10^8}{v}\\ v=frac{3cdot10^8cdot0,70}{0,94}\\ v=2,2cdot10^8m/s$

c) Essa separação temporal é o tempo necessário para o pulso percorrer o trajeto dentro da esfera e sair novamente, fazendo o trajeto R1. Vemos que o trajeto dentro da esfera forma um quadrado de lado L. Esse lado L é a hipotenusa de um triângulo de catetos r(raio da esfera), assim:

$sen heta=frac{r}{L} ightarrow sen(45^circ)=frac{r}{L} ightarrow frac{1}{sqrt2}=frac{r}{L} ightarrow L=rsqrt2$

Como o quadrado tem 4 lados, sendo então o trajeto da luz igual a 4L, dessa maneira:

$4L=4(rsqrt2)=4cdot 0,022cdot 1,41approx 0,12m$

Calculando agora o tempo para a luz viajar essa distância:

$t=frac{S}{V} ightarrow t=frac{0,12m}{2,2cdot10^8m/s}=0,054cdot10^{-8} ightarrow 5,4cdot10^{-10}s$

$oxed{Resposta:left{egin{matrix} a)Ver; imagem\b)V=2,2cdot10^8m/s \ c)5,4cdot10^{-10}s end{matrix} ight.}$

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