Questão 3

FUVEST 2003

Matemática

(FUVEST - 2003 - 2 FASE ) a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0 . A circunferência C passa pelos pontos (1, 0 ) e (3,0) e tem centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r é tangente a C?

b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de intersecção de r com C.

Gabarito:

Resolução:

A circunferência tem centro no ponto C (2;0) e raio r = 1. A reta r, que passa pela origem e tem coeficiente angular m > 0, tem equação y = m . x, com m = tg θ. No triângulo retângulo OTC, temos:

$OT = sqrt{3}$

Portanto, temos:

$m = tg heta = frac{CT}{OT} = frac{1}{sqrt{3}} = frac{sqrt{3}}{3}$

$0< m < frac{sqrt{3}}{3}$ temos que a reta r é secante à circunferência, com isso na obtenção da área do triângulo ABC, temos:

I) Vamos chamar de d a distância ente o centro (2,0) e a reta mx -y = 0, então:

$d = frac{|m.2-0|}{sqrt{m^{2} +1}} = frac{2m}{sqrt{m^{2}+ 1}}$

II) No triângulo AMC, temos:

$\ AM^{2} + (frac{2m}{sqrt{m^{2}+1}})^{2} = 1^{2} \ \ AM = frac{sqrt{1-3m^{2}}}{sqrt{m^{2}+1} }$

III) Temos que AB = 2AM, então:

$AB = 2. frac{sqrt{1-3m^{2}}}{sqrt{m^{2}+1} }$

IV) Temos que área ABC é:

$\ A_{ABC} = frac{AB.d}{2} =frac{ 2 frac{sqrt{1-3m^{2}}}{sqrt{m^{2}+1} } . frac{2m}{sqrt{m^{2}+1}}}{2} = frac{2m sqrt{1-3m^{2}}}{m^{2}+1}$

Questões relacionadas

Questão 88

(FUVEST - 2003 - 1a Fase) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas condi&cced...

Ver questão

Questão 87

(FUVEST - 2003) Seja f a função que associa, a cada número real x, o menor dos números x + 3 e - x + 5. Assim, o valor máximo de f(x) é:

Ver questão

Questão 84

(FUVEST - 2003 - 1a Fase) Seja . Os valores de x, para os quais f está definida e satisfaz , são

Ver questão

Questão 79

(FUVEST - 2003 - 1a Fase) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2, 2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0, 3). A...

Ver questão