Questão 6

FUVEST 2003

Matemática

(FUVEST - 2003 - 2 FASE ) Na figura abaixo , as circunferências têm centros A e B. O raio da maior é $frac{5}{4}$ do raio da menor; P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é tangente à circunferência menor no ponto Q. Calcule:

a) cos $Ahat{B}Q$ .

b) cos $Ahat{B}P$ .

c) cos $Qhat{B}P$ .

Gabarito:

Resolução:

Sejam BP = BQ = r , então:

AB = AP = 5r/4

$\ ABQ = alpha \ \ ABP = eta$

No triângulo ABQ, temos:

$cos alpha = frac{BQ}{AB } = frac{r}{frac{5r}{4} } = frac{4}{5}$

Então:

$sen (alpha) = sqrt{1-(frac{4}{5})^{2}} = frac{3}{5}$

Temos que no triângulo ABP é isósceles e temos:

$AP^{2} = AB^{2} + BP^{2} -2AB . BP. cos eta$

$(frac{5r}{4})^{2} = (frac{5r}{4})^{2} + r^{2} -2.frac{5r}{4}r. cos(eta)$

$cos(eta) = frac{2}{5} e sen (eta) = sqrt{1-(frac{2}{5})^{2}} = frac{sqrt{21}}{5}$

Portanto, temos que:

$\ cos (ABQ) = cos alpha = frac{4}{5} \ \ cos(ABP) = cos eta = frac{2}{5} \ \ cos(QBP) = cos(eta - alpha)$

Com isso:

$frac{2}{5} . frac{4}{5} + frac{sqrt{21}}{5}. frac{3}{5} = frac{8+3sqrt{21}}{25}$

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