Questão 7

FUVEST 2003

Matemática

(FUVEST - 2003 - 2 FASE ) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD ; N está sobre o lado BC e 2BN = NC . Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10 . Calcule AB.

Gabarito:

Resolução:

P como o ponto médio de BC
r e s como as retas que suportam as bases CD e AB do trapézio
t e u como as retas paralelas às bases, determinadas por P e N, respectivamente
h como a distância entre as retas paralelas t e u
x como a medida do segmento AB

A área do quadrilátero ABNM é igual à diferença entre as áreas do trapézio ABPM e do triângulo MPN. Além disso, a área do quadrilátero CDMN é igual à soma das áreas do trapézio MPCD e do triângulo MPN, com isso:

$\ S_{ABPM } - S_{MPN} = S_{MPCD} + S_{MPN } \ \ S_{ABPM} = S_{MPCD} + 2 S_{MPN }$

$\ frac{(x+frac{x+10}{2})3h}{2} = frac{(frac{x+10}{2}+10)3h}{2} + 2. frac{frac{x+10}{2}. h}{2} \ \ (3x +10 ) 3h = (x+30)3h + 2(x+10)h \ \ 9x + 30 = 3x + 90 + 2x + 20 \ \ 4x = 80 \ \ x = 20$

Portanto, AB= 20.

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