Questão 10

FUVEST 2003

Matemática

(FUVEST - 2003 - 2 FASE ) Um cilindro oblíquo tem raio das bases igual a 1, altura $2sqrt{3}$ e está inclinado de um ângulo de 60º (ver figura). O plano β é perpendicular às bases do cilindro, passando por seus centros. Se P e A são os pontos representados na figura, calcule PA.

Gabarito:

Resolução:

Temos que:

$\ sen (60) = frac{2 sqrt{3}}{AB} \ \ AB = 4$

$\ tg(60) = frac{2sqrt{3}}{AC} \ \ AC = 2$

No triângulo OPQ é retângulo em O, e o triângulo QPA é retângulo em Q, pois AQ é perpendicular ao plano alpha que contém a base superior do cilindro:

Com isso, temos:

$\ QP^{2} = QO^{2} + OP^{2} \ \ QP^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2 \ \ QP ^{2} = 2$

Então:

$\ PA^{2} = QA^{2} + QP^{2} \ \ PA^{2} = (2sqrt{3})^{2} + 2 \ \ PA^{2} = 14 \ \ PA = sqrt{14 }$

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