Questão 3

FUVEST 2005

Matemática

(FUVEST - 2005 - 2 FASE) Uma seqüência de números reais a₁, a₂, a₃, ... satisfaz à lei de formação

a_n+1= 6a_n , se n é ímpar

a_n+1 = $frac{1}{3}$ a_n , se n é par.

Sabendo-se que $a_{1}=sqrt{2}$ ,

a) escreva os oito primeiros termos da seqüência.

b) determine a₃₇ e a₃₈.

Gabarito:

Resolução:

1) Temos:

$a_{n+1} = 6 a_{n } , se n impar$

$a_{n+1} = frac{1}{3} a_{n } , se n par$

Os termos de ordem ímpar formam uma progressão geométrica com razão 2, enquanto os termos de ordem par formam outra progressão geométrica com razão 2. Isso ocorre porque:

$\ n = 2m -1 \ \ a_{2m} = 6a_{2m-1} \ \$

__________________________

$n = 2 m \ \ a_{2m+1} = frac{1}{3}a_{2m} \ \$

_________________

$n = 2m +1 \ \ a_{2m +2 } = 6a_{2m+1}$

______________________

Então realizando o sistema com as equações acima, temos:

$a_{2m+2} = 2a_{2m} \ \ a_{2m+1} = 2a_{2m-1}$

Sendo que m pertence aos naturais diferente de zero.

Para n = 1, temos:

$\ a_{2} = 6a_{1} \ \ a_{2} = 6sqrt{2}$

3) Temos a sequência dos 8 primeiros termos:

$a_{n} = (sqrt{2}, 6sqrt{2}, 2sqrt{2}, 12sqrt{2}, 4sqrt{2}, 24sqrt{2}, 8sqrt{2}, 48sqrt{2}, ...)$

Temos que a37 é o décimo nono termo, então:

$\ (sqrt{2},2sqrt{2}, 4sqrt{2}, ...) \ \ sqrt{2}. 2^{18} = 2^{frac{37}{2}}$

a38, temos que é décimo nono termo de:

$\ (6sqrt{2}, 12sqrt{2}, 24sqrt{2}, 48sqrt{2}, ...) \ \ 6sqrt{2}. 2^{18} = 3. 2^{frac{39}{2}}$

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